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Cálculo fraccional: un nuevo lenguaje de complejidad

El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas formulada junto con el cálculo clásico, ha llamado la atención de las ciencias físicas, biológicas y de ingeniería en la última década.

Aunque su desarrollo comenzó en 1695, sólo últimamente se ha considerado como una herramienta con aplicaciones en el mundo real, en lugar de un concepto que está exclusivamente en el ámbito matemático.

El cálculo diferencial de Newton y Leibniz del siglo XVII permitió a los filósofos naturales razonar cuantitativamente sobre los cambios en los fenómenos físicos y sentó las bases para la Revolución Industrial.

Las estadísticas del siglo XVIII de Gauss permitieron a los científicos sociales cuantificar la incertidumbre en sus respectivos dominios, siguiendo el ejemplo de la física.

Los problemas técnicos de hoy requieren técnicas aún más creativas para eludir o superar directamente los desafíos en la investigación que bloquean el progreso en varias disciplinas.

La dinámica de fenómenos no lineales complejos exige que extendamos nuestro horizonte más allá de las funciones analíticas y el análisis clásico.

Estas incursiones en las fronteras sugieren que las funciones necesarias para describir fenómenos complejos carecen de ecuaciones tradicionales de movimiento; ya sea en fenómenos físicos complejos, donde la ley de Newton no describe las dinámicas, o fenómenos sociales, donde no se espera que se aplique. En consecuencia, se está desarrollando y aplicando la sustitución de ecuaciones diferenciales ordinarias por descripciones alternativas.

Consideramos que los fenómenos complejos tienen múltiples componentes que interactúan de forma no lineal con el comportamiento emergente que suponen, pero que no se deduce de la dinámica de las partes que lo componen.

Las interacciones no lineales dan lugar a una mezcla de variabilidades regulares y erráticas en fenómenos complejos, que les permiten adaptarse a entornos cambiantes y por lo tanto sobrevivir.

Sin embargo, para modelar este comportamiento se requiere el uso del cálculo fraccional, como es el caso de los problemas críticos del Ejército: la ecuación de la tasa fraccional que incorpora memoria a largo plazo en la dinámica de cosas como el caucho y el barro; la ecuación de difusión fraccional, que incorpora heterogeneidad espacial en modelos de efectos de difusión-reacción en explosivos; y ecuaciones cinéticas fraccionarias que sintetizan el efecto de la dinámica caótica y funciones de densidad de probabilidad para modelar la turbulencia.

El cálculo fraccional ofrece una nueva forma de pensar sobre cómo superar las barreras de la investigación que impiden la resolución de problemas técnicos críticos para el Ejército; una forma de pensar que se hace necesaria por las demandas de la ciencia contemporánea para superar las barreras de complejidad a la comprensión, que están presentes en prácticamente todas las disciplinas científicas.

La complejidad implica la riqueza cuantitativa, así como cualitativa, de los fenómenos dinámicos no lineales, de modo que la comprensión científica debe abarcar ambos.

Para obtener tal comprensión de manera sistemática, se requiere ir más allá de los métodos tradicionales de modelado y simulación como únicas formas de transformar los datos en información y posteriormente en conocimiento.

En consecuencia, los modelos matemáticos de la realidad basados en el cálculo diferencial han sido empujados a sus límites y más allá.

Esos modelos matemáticos, que se desarrollaron y aplicaron con tanto éxito a las explicaciones y comprensión de los fenómenos físicos en los siglos XIX y XX, ya no son adecuados para describir los fenómenos emergentes del siglo XXI en la Internet de la Batalla de las Cosas o en el Cyberspace.

Estos campos de batalla del futuro estarán compuestos de un número sustancial de sistemas y dispositivos, que tendrán que colaborar y comunicarse entre sí y con los combatientes humanos.

En este entorno imprevisible, la información ejecutable y precisa derivada de los datos obtenidos en el campo de batalla será vital. Aun así, la conversión cantidad masiva de información, posiblemente muchos órdenes de magnitud mayor que lo que se considera actualmente en el campo de batalla, en datos factibles y confiables es inmensamente compleja.

Esta información incluirá procesos dinámicos no lineales y no estacionarios, pero la teoría de la información, que suele utilizarse para cuantificar tales datos, requiere que los procesos subyacentes sean ergódicos.

El cálculo fraccional constituye un nuevo enfoque para la formulación y resolución de problemas críticos de ingeniería y ciencia que violan los supuestos históricos de que las interacciones en el espacio son homogéneas y locales; que las interacciones en el tiempo son isotrópicas y sin memoria; y que la dinámica lineal es una buena primera aproximación al comportamiento de un sistema.

La nueva estrategia posibilitada por el cálculo fraccional complementa las metodologías más tradicionales y es consecuencia de la complejidad interna de los sistemas.

Su intención es revelar cómo la complejidad forma la base de las barreras científicas que dificultan la resolución de problemas de importancia crucial para el Ejército, algunos de los cuales se han mencionado, y que requiere esta nueva infraestructura matemática para su formulación y resolución detallada.

La integración de nuevos sistemas de armas, nuevas redes de información y nuevas redes de sensores en el tejido militar es parte de cómo se espera que Estados Unidos mantenga su superioridad militar y social a lo largo del siglo XXI.

La ciencia continuará buscando la comprensión de cómo es el mundo y la ingeniería encontrará maneras de utilizar la ciencia para acomodar el mundo a tareas específicas y llevar a cabo las funciones prescritas.

Sin embargo, el énfasis ya no está en un único sensor; el énfasis está en las redes del sensor; la plataforma se sustituye por redes de plataformas de comunicación. La preocupación actual es cómo la información de los nuevos sensores se integra en la infraestructura informacional general en la Batalla de la Internet de las Cosas (IoT).

Aquí es donde entra en juego la matemática revolucionaria, la matemática que implica el desarrollo de un pensamiento estratégico y táctico totalmente nuevo, necesario por el efecto que las matemáticas perturbadoras tienen en los conceptos científicos existentes.

Por lo tanto, la ciencia para el Ejército no sólo se ocupa de la integración de nuevos dispositivos, sino también de cómo estos dispositivos cambian las redes a las que contribuyen, así como cómo se utilizan posteriormente estas redes.

Ahora nos damos cuenta de que todas las redes están interconectadas y de que una ventaja conseguida en una sub-red no produce necesariamente una ventaja global en la red en la que se encuentra

De hecho, la mejora en el rendimiento de una sub-red puede degradar el rendimiento general, forzando así una exploración cada vez más profunda en la comprensión de cómo las redes complejas interactúan entre sí e intercambian información.

Las matemáticas codifican la infraestructura conceptual para la ciencia, encontrando su expresión en la teoría usada para guiar la tecnología como cumplimiento mediante la ingeniería de ese razonamiento matemático / teórico.

Por ejemplo, existe actualmente un programa del Army Research Laboratory (ARL) para desarrollar métodos no locales y de orden fraccional para el estudio de las turbulencias de cerca de las paredes, la simulación de remolinos grandes y la interacción fluido-estructura.

Otro es el uso del cálculo fraccional para resolver problemas físicos de múltiples escalas, así como otro para desarrollar ecuaciones diferenciales fraccionales parciales para las leyes de conservación y más allá.

En resumen, en esta época de la información y la complejidad, los científicos e ingenieros de ARL, en colaboración con la comunidad mundial de científicos e ingenieros, están reexaminando los cimientos de la ciencia, con el fin de sintetizar las diversas disciplinas científicas en una CIENCIA , sin los límites artificiales, pero necesarios, impuestas para definir una disciplina.

Este nuevo examen ha sugerido la refundición de las leyes físicas en formas fraccionarias, que pueden proporcionar los eslabones que faltan entre dinámicas complejas en las ciencias físicas, sociales y de la vida.

Fte.: US Army

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